3 hæfter koster 30 kr: additiv i stedet for proportional tænkning
Hvorfor børn ved opgaver som »3 hæfter koster 30 kr« tænker additivt i stedet for proportionalt, og hvordan lærere opbygger den funktionelle sammenhæng.
Kort sagt: Ved »3 hæfter koster 30 kr, hvad koster 6 hæfter?« regner mange børn 30 kr + 3 kr = 33 kr, fordi der kommer tre hæfter til. De overfører forskellen i antal til prisen, selv om prisen også fordobles, når antallet fordobles. Det hjælper med tabeller med pile, spørgsmålet om prisen for ét stykke, fordobling og halvering samt modeksempler, hvor sammenhængen ikke er proportional. Mazio Matematik ordner sit indhold efter de fem indholdsområder, blandt andet mønstre og strukturer, og giver læreren et hint, når en udbredt misopfattelse viser sig i klassen.
Denne artikel henvender sig til lærere i 3. og 4. klasse. Den viser typiske fejl i opgaver med antal og pris, forklarer årsagen og beskriver, hvordan du opbygger sammenhængen med tabeller og regneveje. Hvordan børn generelt lærer at forstå tekstopgaver, kan du læse i artiklen om trin til at forstå tekstopgaver.
Typiske fejl ved antal og pris
| Fejl | Eksempel | Hvad der ligger bag |
|---|---|---|
| Forskel i stedet for multiplum | 3 hæfter koster 30 kr. For 6 hæfter regner barnet 30 kr + 3 kr = 33 kr. Det rigtige er 60 kr. | Tilvæksten i antal lægges til prisen. |
| Prisen for flere som prisen for ét | 2 blyanter koster 10 kr. For 5 blyanter tæller barnet videre i spring på 10: 10 kr, 20 kr, 30 kr, 40 kr, 50 kr. Det rigtige er 25 kr. | Prisen for to stykker lægges til for hvert ekstra stykke. |
| Altid fordoble | 4 kg koster 40 kr. For 6 kg fordobler barnet til 80 kr. Det rigtige er 60 kr. | »Mere« forbindes kun med fordobling. |
| Tal kombineret uden mening | 4 kg koster 20 kr. For 1 kg regner barnet 20 · 4 = 80 kr. Det rigtige er 5 kr. | Regningsarten gættes, og resultatets størrelse kontrolleres ikke. |
| Proportional, hvor det ikke passer | Et barn er 110 cm højt som 5-årig, altså 220 cm som 10-årig. | Enhver sammenhæng opfattes som »dobbelt så meget, dobbelt så meget«. |
Den første fejltype nævnes også på siden Matematik i 3. og 4. klasse (på tysk) som en typisk misopfattelse i indholdsområdet mønstre og strukturer.
Hvorfor børn tænker additivt
Fra de første skoleår kender børn især additive sammenhænge: Noget kommer til, noget går væk. Sproget forstærker det, for »der kommer tre hæfter til« lyder som plus. Proportionale sammenhænge kræver derimod, at man ser på multipla: Fordobles antallet, fordobles prisen.
Det tyske projekt Mathe sicher können beskriver det i sit støttemodul om proportionale sammenhænge (på tysk) med tanken »for hver portion kommer der altid det samme til«. Heraf følger også, at det samme multiplum af prisen hører til et multiplum af antallet. Modulet skelner mellem fire regneveje: at lægge til trin for trin, at regne op, at regne ned til én portion, hvilket også er kendt som reguladetri, og at regne med den faste faktor. Som typiske fejl nævner det blandt andet, at prisen for to stykker tages som prisen for én portion og derefter lægges til trin for trin, og at »proportional« kun forbindes med fordobling. Modulet er skrevet til de tyske klassetrin 5 til 10, men grundlaget lægges i 3. og 4. klasse.
Opbyg sammenhængen
Tabeller med pile. Til venstre antallet, til højre prisen. Børnene skriver ind, hvordan de kommer fra én række til den næste: »gange 2« til venstre betyder »gange 2« til højre. Små tabeller med kun de rækker, der er brug for, er nok.
| Hæfter | Pris |
|---|---|
| 3 | 30 kr |
| 1 | 10 kr |
| 6 | 60 kr |
| 9 | 90 kr |
Prisen for ét. Spørgsmålet »Hvad koster ét hæfte?« gør mange opgaver til en enkel opgave. 30 kr for 3 hæfter er 10 kr pr. hæfte. Derefter kan ethvert antal beregnes.
Fordobling og halvering. Dobbelt antal, dobbelt pris. Halvt antal, halv pris. Det kan godt øves med opskrifter: En pandekagedej til 4 personer fordobles til 8 personer og halveres til 2.
Strimmelmodel. Hvert hæfte er en strimmel med to felter, ét for hver femkrone. Seks hæfter er seks strimler, altså tolv felter. Sådan bliver det synligt, at der med hvert hæfte kommer det samme til.
Modeksempler. Ikke enhver sammenhæng er proportional. Højden vokser ikke i samme forhold som alderen, og ved storpakninger er prisen ofte lavere, end antallet lader forvente. Det tyske PIKAS-materiale om pengeværdier påpeger, at vare og pris i hverdagen sjældent forholder sig proportionalt på grund af mængderabatter. Børnene bør derfor spørge, om »dobbelt så meget« virkelig gælder her.
Diagnostiske spørgsmål
- »Hvad koster ét enkelt hæfte?«
- »Hvor mange flere hæfter er der nu? Og hvor mange gange så mange?«
- »Vis mig din regnevej i tabellen.«
- »Kan det passe, at 6 hæfter koster 33 kr, når ét hæfte koster 10 kr?«
- »Gælder det også her: dobbelt så meget, dobbelt så dyrt?«
Regner et barn stykprisen rigtigt ud, men bruger den ikke, har det brug for tabellen som redskab. Kan det ikke bestemme stykprisen, ligger forhindringen snarere i division og i forståelsen af »pr. stykke«.
Sådan støtter Mazio Matematik den funktionelle tænkning
Mazio Matematik er en læringsplatform til matematikundervisningen i 1.–4. klasse. Indholdet er ordnet efter de fem indholdsområder i de tyske nationale uddannelsesstandarder, blandt andet mønstre og strukturer, og er bygget op til dobbeltårgangene 1./2. og 3./4. klasse. Til 3. og 4. klasse findes der forløb til alle fem indholdsområder. I »Kontrollér regneveje« afgør børnene, hvilken regnevej der passer til et spørgsmål i en tekstopgave.
Find indhold. Om der findes passende materiale til et fokuspunkt i de tyske delstaters læseplaner, viser siden »Læseplan« i dashboardet. Med filteret »3./4. klasse« og et udfoldet fokuspunkt ser du under »Passer hertil i Mazio Matematik« de passende forløb, Basiscamp-øvelser og Knobelbox-opgaver. På hylden filtrerer du med søgningen efter titel, emne eller kompetence.
Sikr grundlaget. Den, der ikke kan bestemme prisen for ét stykke, har ofte brug for gangetabellerne og division. Basiscamp øver det i verdenen »Gange og division« og har verdener med mønstre, ligevægt og gåder. Den husker for hvert barn, hvilke opgavetyper det allerede mestrer sikkert. Med plusset på et kort på hylden lægger du en hel underverden på klassens tavle.
En time i 4. klasse. Timen begynder med hæfteopgaven og svarene 33 kr og 60 kr, som klassen stemmer om og derefter afgør med en tabel. Bagefter lægger du et passende indhold på tavlen med plusset, med en note som »Spørg jer selv først: Hvad koster ét?«. I rækken på tavlen ser du, hvor mange børn der er færdige. Laver et barn en fejl, hjælper læringsassistenten Mazio direkte i opgaven med et opfølgende spørgsmål, med markeringer i billedet og efter behov med et givet delskridt. Løsningen siger han ikke.
Klassens misopfattelser. Én gang om ugen tjekker Mazio Matematik, om der i klassens forkerte svar viser sig en udbredt misopfattelse. Støttekortet forklarer tankefejlen med et eksempel, nævner skridt til undervisningen og foreslår passende indhold til tavlen. Hvad der kommer på tavlen, bestemmer du.
Næste skridt. Opret en konto under registrér dig gratis, og se nærmere på hylden og læseplansvisningen. Hvordan Mazio Matematik gør tankefejl synlige på klasseniveau, beskriver artiklen Sådan evaluerer Mazio Matematik klassens tankefejl. Brug med en klasse er indtil videre muligt for skoler i Tyskland, som også kan afprøve Mazio Matematik først. Ligger din skole i et andet land, noterer vi din interesse ved registreringen og giver besked, så snart Mazio Matematik er tilgængelig dér.
Ofte stillede spørgsmål
Lærer børn allerede reguladetri i 3. og 4. klasse?
Reguladetri som fast metode kommer som regel først senere. Idéen bag, først at bestemme prisen for ét stykke og derefter regne op, kan børn i 3. og 4. klasse dog allerede bruge med tabeller. Hvornår emnet er på programmet, fastlægger læseplanen i dit land.
Hvordan kan jeg se, om et barn tænker proportionalt?
På at det forventer den dobbelte pris ved det dobbelte antal og kan begrunde det, for eksempel med prisen for ét stykke. Lægger det blot tilvæksten i antal til prisen, tænker det stadig additivt.
Er enhver sammenhæng mellem antal og pris proportional?
Nej. Ved storpakninger eller tilbud falder prisen pr. stykke ofte. I undervisningen arbejder man først med situationer, hvor hvert stykke koster det samme, og tager derefter bevidst modeksempler op.