Hvad en million løste opgaver fortæller om gode opgaver

Børn har efterhånden løst over en million opgaver i Mazio Matematik. Det oplagte spørgsmål ville være, hvor meget der er blevet øvet. Et andet spørgsmål er mere interessant: Hvad har vi lært om opgaver undervejs? Bag hver opgave i Mazio Matematik ligger en didaktisk model, en antagelse om, hvordan børn tænker, og hvor de går i stå. Hver besvarelse afprøver denne model. En million besvarelser er en million små prøver af vores egne antagelser, og vi har ikke bestået dem alle.

To opgaver, ét emne, en verden til forskel

To opgaver i Knobelbox handler om det samme indhold, spejling i en akse. I den ene vælger børnene det rigtige spejlbillede: 89 procent lykkes i første forsøg. I den anden sætter de selv spejlpunktet i gitteret: 43 procent, og ingen andre steder beder børn oftere om et tip.

Det er formatet, der forklarer forskellen; emnet er det samme. At genkende et spejlbillede og selv konstruere en spejling er forskellige kognitive handlinger, og mellem dem ligger netop den læringsvej, undervisningen skal gå. For os som opgaveudviklere ligger der en anden lektie i det: Når fejlprocenten og efterspørgslen efter hjælp på én gang skiller sig ud ved en opgave, kan det skyldes børnene eller opgaven. Sådanne opgaver kommer hos os automatisk på tjeklisten, for nogle gange er det en misvisende fremstilling, der gør opgaven svær.

Fejl er sjældent tilfældige

Når mange børn går i stå ved kombinatorikopgaver, kunne man tro, at det var tilfældig spredning. Diagnosen viser noget andet: Det klart hyppigste mønster er at addere i stedet for at multiplicere. Tre par bukser og fire T-shirts giver så syv kombinationer i stedet for tolv. Den samme håndskrift findes overalt: Ved skriftlig subtraktion trækker børn det mindste ciffer fra det største, uanset hvilket der står øverst. Ved spejling tjekker de kun den ene side af figuren eller sammenligner lokalt i stedet for at se på hele formen. Ved sandsynlighed bedømmer de »sikker« som »mulig«.

Det er stabile, forståelige tankemønstre, som forskningen har beskrevet i årtier, og de adskiller sig fra sjuskefejl. Derfor er der i Mazio Matematik modelleret et katalog med 5.178 sådanne misopfattelser bag opgaverne. Et forkert svar bliver registreret som forkert og så vidt muligt knyttet til et mønster. Forskellen har praktisk betydning: Mod sjuskefejl hjælper gentagelse. Mod en misopfattelse hjælper gentagelse ikke, den frembringer blot den samme fejl mere pålideligt. Der er brug for opgaver, der gør mønsteret synligt og opløser det, og det er netop det, feedbacken og hintene fra Mazio sigter mod.

En opgave bliver til 17.825

En opgave i Mazio Matematik er en parametriseret familie af opgaver. Talområde, repræsentation, opstilling og distraktorer dannes ud fra parametre inden for didaktisk fastsatte grænser. Alene i Knobelbox har børn på den måde løst 17.825 unikke varianter på et halvt år, og opgavetypen med bevægelser findes alene i 1.900 udgaver.

Det beskytter mod afskrift, og det kan mere end det. Parametre gør sværhedsgraden styrbar: Den samme opgaveidé kan stilles i talområdet til 20 eller til 1.000, med runde tal eller med overskridning, som billede eller symbolsk. Og de gør opgavebanken mulig at evaluere, for når en variant systematisk skiller sig ud, viser sammenligningen med dens søskende, hvad det skyldes.

Sådan træffer adaptiviteten sine beslutninger

Adaptivitet lyder ofte som magi, men i Mazio Matematik er det et nøgternt reguleringskredsløb. Hver opgavetype har sin egen sværhedsskala, og tildelingen reagerer på det, et barn senest har vist. I dataene kan man efterprøve, om det virker: Stærkere børn får målbart sværere varianter. Succesraten forbliver samtidig nogenlunde ens på tværs af alle børn, og netop det er formålet. Hvert barn skal øve i det område, hvor opgaverne hverken er trivielle eller nedslående.

Vigtigt: Adaptivitet betyder hos os mere end lettere eller sværere. Ofte er den bedre reaktion på en fejl det samme krav i en anden repræsentation, et isoleret delskridt eller et kontrastpar frem for en lettere opgave. Hvorfor, står udførligt i artiklen Adaptivitet er mere end »lettere eller sværere«.

Hint, der fører til tænkning

Hint er den mest følsomme del af et læringsmiljø. For lidt hjælp frustrerer, for meget hjælp overtager tænkningen. Mazio Matematik arbejder derfor med en hintstige: først at lede opmærksomheden, så at stille et spørgsmål til løsningsvejen, så at tilbyde en repræsentation, så at aktivere en strategi. Selve løsningen står ikke på noget trin; det sidste skridt tager barnet selv.

Om stigen bærer, kan man efterprøve i forsøgssekvenserne, for ved hvert forsøg er det logget, om der forinden blev vist et hint. Resultatet er tydeligt: Efter det første fejlforsøg lykkes det næste forsøg med hint i 65 procent af tilfældene, uden hint i 46 procent. Også justeret for opgavetype er der en forskel på omkring 14 procentpoint, og selv dybt nede i stigen, fra det femte forsøg, ligger forsøg med hint stadig foran.

Den mest interessante del er mekanismen. Uden hint kommer det næste svar efter en fejl i median efter 4 sekunder; det er at prøve sig frem. Med hint går der 21 sekunder. Hintet ændrer altså både, hvad et barn ved, og hvordan det arbejder: Det afbryder gætteriet og skaber tid til at tænke.

I forløbene er hjælpen bygget anderledes op. Dér melder Mazio sig af sig selv efter hver fejl med en besked, der er skrevet didaktisk til netop denne delopgave. Over 112.000 sådanne øjeblikke med fejl og nyt forsøg viser tre ting. Efter den første besked lykkes godt halvdelen af de næste forsøg. Om beskeden virker, afhænger dog af, om den bliver læst: Børn, der svarer igen inden for 30 sekunder, når 38 procent, og de, der tager sig mere tid, når 53 procent. Mange børn svarer hurtigere, end de kan læse, og det fører til en konkret produktidé, som vi vil afprøve: en kort pause før næste indtastning. Og for det tredje spreder beskederne enormt. Ved den bedste delopgave fører hjælpen til løsningen i 92 procent af tilfældene, ved den svageste i 8 procent. I den nederste ende står påfaldende ofte baner om sandsynlighed, dér hvor misopfattelsen »sikker betyder mulig« sidder; dybt forankrede mønstre løses ikke af en tekstbesked. Sådanne baner kommer direkte på listen over det, der skal omarbejdes, for hvor en hjælpebesked næsten ikke når nogen, ligger problemet ikke hos barnet.

Ærligt sagt: Det er observationsdata uden tilfældig fordeling. Hvilken type hint der virker bedst hvornår, et delspørgsmål, et modeksempel eller en visualisering, kan vi endnu ikke adskille; derfor registrerer vi lige nu stigen mere detaljeret.

Opgaver bliver aldrig færdige

Udefra ser en opgave færdig ud, så snart den er online. I virkeligheden begynder dens anden udviklingsfase dér. Hver opgavetype har hos os en journal: indrapporterede problemer, ændringslog, kvalitetsværdier fra procesdataene. Falder en opgave i øjnene i datatriagen, bliver den omformuleret, erstattet eller parametriseret på ny, eller sværhedsgraden bliver fastsat på ny, og den næste bølge af besvarelser viser, om ændringen holdt.

Det er den egentlige forskel i forhold til en trykt lærebog. Dens opgaver er så gode, som de var på dagen for trykningen. En opgavebank med en million besvarelser bag sig bliver en smule bedre hver uge, fordi den lærer noget om sig selv af hver eneste besvarelse.