Lighedstegnet som »giver«: en misopfattelse med følger

Børn møder lighedstegnet fra den første uge i matematikundervisningen, næsten altid i formen 3 + 4 = □. Det giver let en forestilling, der holder i 1. og 2. klasse og senere skaber problemer. Denne artikel viser lærere, hvordan de genkender misopfattelsen, hvordan de spørger ind til den, og hvilke materialer de kan bruge til at modvirke den.

To måder at læse lighedstegnet på

I matematikdidaktikken skelner man mellem en operationel forståelse, hvor tegnet læses som en opfordring til at regne, og en relationel forståelse, hvor det udtrykker, at begge sider har samme værdi. Til opgaver som 3 + 4 = □ er den første nok. Så snart der regnes på både venstre og højre side, kræves den anden.

Hvor stor forskellen kan være, viser et lille pilotstudie med 60 børn i 4. klasse, offentliggjort i Beiträge zum Mathematikunterricht 2018. Opgaver af typen 4 + 8 = □ løste 92 procent af børnene for det meste rigtigt, opgaver af typen 4 + 8 = □ + 7 kun 10 procent. Studiet er lille, men mønsteret stemmer overens med ældre undersøgelser, som nævnes dér.

Typiske fejl og hvad der ligger bag

Den sidste linje opstår let, fordi den er praktisk, når man skriver udregninger ned. Udtrykket påstår dog, at 8 + 2 er lig med 13.

Følgerne rækker langt. Den, der kun læser lighedstegnet som »giver«, får svært ved opgaver med tomme felter, ved at udnytte bytteopgaver og naboopgaver og senere ved ligninger i de ældre klasser.

Sådan spørger du diagnostisk ind

1. Spørg til betydningen. »Hvad betyder dette tegn?« Svar som »der skal resultatet stå« viser den operationelle opfattelse. »Begge sider er lige meget« viser den relationelle.
2. Sandt eller falsk. Vis ligninger som 7 = 3 + 4, 3 + 4 = 4 + 3 og 3 + 4 = 8, og lad børnene afgøre og begrunde.
3. Tomt felt med begrundelse. »Hvad skal der stå i 3 + 4 = □ + 5? Hvordan har du tjekket, om det passer?« Børn med en relationel opfattelse regner begge sider ud og sammenligner.
4. Se på børnenes egne udregninger. Kig i hæfterne efter regnekæder med flere lighedstegn. De viser, hvordan barnet bruger tegnet.

Det hjælper i undervisningen

• Skift måden at sige det på. Læs tegnet som »er lige så meget som« eller »har samme værdi som«, sammen med børnene og ved tavlen.
• Vægt og ligevægt. Fordel lodder på venstre og højre side af en skålvægt eller talvægt, så den er i ligevægt. Skriv derefter den tilsvarende ligning, for eksempel 3 + 4 = 2 + 5.
• Ligninger i begge retninger. Skriv fra begyndelsen også 7 = 3 + 4 og 7 = 5 + 2, så resultatet ikke altid står til højre.
• Udregninger på begge sider. Forbind bytteopgaver og naboopgaver med lighedstegnet: 6 + 7 = 7 + 6, 6 + 7 = 6 + 6 + 1.
• Notér udregninger korrekt. Skriv mellemregninger som separate ligninger eller med pile, og drøft forskellen med klassen.
• Tag uligheder med. Opgaver med <, > og = viser, at tegnet udtrykker en sammenligning.

Sådan kan Mazio Matematik hjælpe

Mazio Matematik er en læringsplatform til matematikundervisningen i grundskolens første klasser. Indholdet er ordnet efter de fem indholdsområder i de tyske nationale uddannelsesstandarder, herunder mønstre og strukturer, og er bygget op til dobbeltårgangene 1./2. og 3./4. klasse.

Mønstre og ligevægt i Basiscamp. Ud over regneverdenerne har Basiscamp verdener om mønstre, ligevægt og gåder, som er udviklet til 1.–4. klasse. På hylden vælger du området »Basiscamp« og indstiller klassetrinnet under »Klasse«. Et forløb kan du se på forhånd med »Åbn & spil«, sådan som et barn ser det; det, du gør dér, tæller ikke som resultat.

Lektionsidéer i samlingen. I samlingen er der lektionsidéer med mål, en plan i faser og passende materiale, fra 10 minutter til en dobbeltlektion, og du kan filtrere dem efter klasse og varighed. »Det hele på tavlen« lægger alt materialet til en idé på tavlen på én gang.

Ved en fejl. Læringsassistenten Mazio hjælper direkte i opgaven med et opfølgende spørgsmål, med markeringer i billedet og om nødvendigt med et givet delskridt. Løsningen siger han ikke; det næste skridt tager barnet selv.

Klassens misopfattelser. En gang om ugen tjekker Mazio Matematik, om der i klassens forkerte svar viser sig en udbredt misopfattelse. Støttekortet forklarer fejlen med et eksempel, nævner under »I undervisningen« skridt for klassen og foreslår under »Passende indhold til tavlen« forløb og Knobelbox-opgaver. Under »Resultater« åbner »Bibliotek« de hyppige misopfattelser, ordnet efter indholdsområde. Under »Mønstre og strukturer« kan du se, hvilke poster der findes dér.

Et eksempel fra undervisningen. En 2. klasse arbejder en uge med skålvægten. Mandag lægger børnene i grupper ligevægte og skriver ligninger ned i begge retninger. Tirsdag vælger læreren under »Undervisning« på hylden området »Basiscamp«, lægger en øvelse fra verdenen »Ligevægt« med plus på klassens tavle og skriver som note »Sig, når du regner: er lige så meget som«. Børnene ser straks øvelsen på deres enheder. Sværhedsgraden tilpasser sig hvert barns hidtidige arbejde. Fredag tjekker klassen sammen, om ligninger er sande eller falske, og læreren noterer, hvem der stadig siger »der skal resultatet stå«.

Flere misopfattelser i 1. og 2. klasse står på siden Matematik i 1. og 2. klasse (på tysk). Alle forløb efter emne finder du i biblioteket med alle forløb. Hvordan klasseevalueringen fungerer, forklarer artiklen Sådan evaluerer Mazio Matematik klassens tankefejl. For lærere er Mazio Matematik gratis: Opret en gratis konto. Brug med en klasse er indtil videre muligt for skoler i Tyskland.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad skriver børn typisk ved 3 + 4 = □ + 5?

Ofte 7, fordi de regner venstre side ud og skriver resultatet i det tomme felt, nogle gange 12, fordi de lægger alle tal sammen. Det rigtige er 2, for begge sider skal give lige meget. Spørg barnet, hvordan det har tjekket.

Hvornår skal lighedstegnet indføres relationelt?

Fra begyndelsen. Hvis børn i 1. klasse kun ser opgaver af formen 3 + 4 = □, sætter læsemåden »giver« sig fast. Ligninger i begge retninger og vægten hører hjemme allerede i de første uger.

Er regnekæder som 8 + 2 = 10 + 3 = 13 virkelig et problem?

Ja, fordi de er matematisk forkerte og befæster læsemåden »giver«. Skriv mellemregninger som selvstændige ligninger eller med pile. Børn overtager den skrivemåde, de ser på tavlen.