3 hefter koster 30 kroner: additiv i stedet for proporsjonal tenkning
Hvorfor barn ved oppgaver som «3 hefter koster 30 kr» tenker additivt i stedet for proporsjonalt, og hvordan lærere bygger opp den funksjonelle sammenhengen.
Kort sagt: Ved «3 hefter koster 30 kr, hva koster 6 hefter?» regner mange barn 30 kr + 3 kr = 33 kr, fordi det kommer tre hefter til. De overfører forskjellen i antall til prisen, selv om prisen også dobles når antallet dobles. Det hjelper med tabeller med piler, spørsmålet om prisen for ett stykk, dobling og halvering og moteksempler der sammenhengen ikke er proporsjonal. Mazio Matematikk ordner innholdet sitt etter de fem kompetanseområdene, blant dem mønstre og strukturer, og gir læreren et hint når en utbredt misoppfatning viser seg i klassen.
Denne artikkelen er skrevet for lærere på 3. og 4. trinn. Den viser typiske feil i oppgaver med antall og pris, forklarer årsaken og beskriver hvordan du bygger opp sammenhengen med tabeller og regnestrategier. Hvordan barn generelt lærer å forstå tekstoppgaver, står i artikkelen om steg for å forstå tekstoppgaver.
Typiske feil ved antall og pris
| Feil | Eksempel | Hva som ligger bak |
|---|---|---|
| Forskjell i stedet for multiplum | 3 hefter koster 30 kr. For 6 hefter regner barnet 30 kr + 3 kr = 33 kr. Riktig er 60 kr. | Økningen i antall legges til prisen. |
| Pris for flere som pris for ett | 2 blyanter koster 10 kr. For 5 blyanter teller barnet videre i tiere: 10 kr, 20 kr, 30 kr, 40 kr, 50 kr. Riktig er 25 kr. | Prisen for to stykker legges til for hvert nye stykk. |
| Alltid doble | 4 kg koster 80 kr. For 6 kg dobler barnet til 160 kr. Riktig er 120 kr. | «Mer» forbindes bare med dobling. |
| Tall koblet uten mening | 4 kg koster 120 kr. For 1 kg regner barnet 120 · 4 = 480 kr. Riktig er 30 kr. | Regneoperasjonen gjettes, og størrelsen på svaret blir ikke kontrollert. |
| Proporsjonalt der det ikke passer | Et barn er 110 cm høyt som 5-åring, altså 220 cm som 10-åring. | Enhver sammenheng oppfattes som «dobbelt så mye, dobbelt så mye». |
Siden Matematikk på 3. og 4. trinn (på tysk) nevner også denne typen feil som en typisk misoppfatning i kompetanseområdet mønstre og strukturer.
Hvorfor barn tenker additivt
Fra de første skoleårene kjenner barn først og fremst additive sammenhenger: Noe kommer til, noe går bort. Språket forsterker dette, for «det kommer tre hefter til» høres ut som pluss. Proporsjonale sammenhenger krever derimot blikk for multipler: Når antallet dobles, dobles prisen.
Det tyske prosjektet Mathe sicher können beskriver dette i sin støttemodul om proporsjonale sammenhenger med tanken «for hver porsjon kommer det alltid like mye til». Av dette følger også at et multiplum av antallet hører sammen med det samme multiplumet av prisen. Modulen skiller mellom fire regnestrategier: legge til trinnvis, regne opp, regne ned til én porsjon, også kjent som enhetsmetoden, og regne med den faste faktoren. Som typiske feil nevner den blant annet at prisen for to stykker tas som prisen for én porsjon og deretter legges til trinnvis, og at «proporsjonal» bare forbindes med dobling. Modulen er skrevet for 5. til 10. trinn, men grunnlaget legges på 3. og 4. trinn.
Bygge opp sammenhengen
Tabeller med piler. Til venstre antallet, til høyre prisen. Barna skriver inn hvordan de kommer fra én rad til den neste: «ganger 2» til venstre betyr «ganger 2» til høyre. Små tabeller med bare de radene som trengs, er nok.
| Hefter | Pris |
|---|---|
| 3 | 30 kr |
| 1 | 10 kr |
| 6 | 60 kr |
| 9 | 90 kr |
Prisen for ett. Spørsmålet «Hva koster ett hefte?» gjør mange oppgaver enkle. 30 kr for 3 hefter er 10 kr per hefte. Deretter kan et hvilket som helst antall regnes ut.
Dobling og halvering. Dobbelt antall, dobbel pris. Halvt antall, halv pris. Med oppskrifter kan dette øves godt: En pannekakerøre for 4 personer dobles for 8 personer og halveres for 2.
Stripemodell. Hvert hefte er en stripe på to ruter for 10 kr, én rute for hver femkroning. Seks hefter er seks striper, altså tolv ruter eller 60 kr. Slik blir det synlig at det kommer like mye til for hvert hefte.
Moteksempler. Ikke enhver sammenheng er proporsjonal. Kroppshøyden vokser ikke i samme forhold som alderen, og ved storpakninger er prisen ofte lavere enn antallet skulle tilsi. Det tyske PIKAS-materialet om pengeverdier påpeker at vare og pris i hverdagen sjelden er proporsjonale på grunn av mengderabatter. Barna bør derfor spørre om «dobbelt så mye» virkelig gjelder her.
Diagnostiske spørsmål
- «Hva koster ett enkelt hefte?»
- «Hvor mange flere hefter er det nå? Og hvor mange ganger så mange?»
- «Vis meg regnestrategien din i tabellen.»
- «Kan det stemme at 6 hefter koster 33 kr, når ett hefte koster 10 kr?»
- «Gjelder det her også: dobbelt så mye, dobbelt så dyrt?»
Regner et barn ut prisen for ett stykk riktig, men bruker den ikke, trenger det tabellen som verktøy. Klarer det ikke å finne prisen for ett stykk, ligger hindringen heller i divisjon og i forståelsen av «per stykk».
Slik støtter Mazio Matematikk funksjonell tenkning
Mazio Matematikk er en læringsplattform for matematikkundervisningen på barneskolen. Innholdet er ordnet etter de fem kompetanseområdene i de tyske nasjonale utdanningsstandardene, blant dem mønstre og strukturer, og lagt opp for dobbeltårgangene 1./2. og 3./4. trinn. For 3. og 4. trinn finnes det økter i alle fem kompetanseområdene. I «Sjekke regnemåter» avgjør barna hvilken regnemåte som passer til spørsmålet i en tekstoppgave.
Finne innhold. Om det finnes passende materiell til et tema i læreplanene til de tyske delstatene, viser siden «Læreplan» i dashbordet. Med filteret «3./4. trinn» og et utvidet tema ser du under «Passer til dette i Mazio Matematikk» de passende øktene, øvelsene i Basiscamp og oppgavene i Knobelbox. I hylla filtrerer du med søket etter tittel, tema eller kompetanse.
Sikre grunnlaget. Den som ikke kan finne prisen for ett stykk, trenger ofte gangetabellen og divisjon. Basiscamp øver dette i verdenen «Gange og dele» og har verdener om mønstre, likevekt og grubleoppgaver. For hvert barn husker Basiscamp hvilke oppgavetyper barnet allerede mestrer sikkert. Med plusstegnet på et kort i hylla legger du en hel underverden på klassens tavle.
Et opplegg for 4. trinn. Timen begynner med hefteoppgaven og svarene 33 kr og 60 kr, som klassen stemmer over og deretter avgjør med en tabell. Etterpå legger du et passende innhold på tavla med plusstegnet, med et notat som «Spør dere først: Hva koster ett?». På raden ser du hvor mange barn som er ferdige. Gjør et barn en feil, hjelper læringsassistenten Mazio direkte i oppgaven, med et spørsmål tilbake, med markeringer i bildet og ved behov med et forhåndsgitt delsteg. Løsningen sier han ikke.
Misoppfatninger i klassen. Én gang i uken sjekker Mazio Matematikk om det viser seg en utbredt misoppfatning i klassens feil svar. Oppfølgingskortet forklarer tankefeilen med et eksempel, nevner steg for undervisningen og foreslår passende innhold til tavla. Hva som kommer på tavla, bestemmer du.
Neste steg. Opprett en konto under registrer deg gratis og se på hylla og læreplanvisningen. Hvordan Mazio Matematikk gjør tankefeil synlige på klassenivå, beskriver artikkelen Slik evaluerer Mazio Matematikk tankefeil i klassen. Prøvetilgang og bruk med en klasse er foreløpig mulig for skoler i Tyskland. Ligger skolen din i et annet land, noterer vi interessen din ved registreringen.
Vanlige spørsmål
Lærer barn allerede enhetsmetoden på barneskolen?
Enhetsmetoden som fast framgangsmåte kommer som regel senere. Ideen bak, først å finne prisen for ett stykk og deretter regne opp, kan barn på 3. og 4. trinn likevel allerede bruke med tabeller. Når temaet står på planen, bestemmer læreplanen i landet ditt.
Hvordan ser jeg om et barn tenker proporsjonalt?
Ved at det forventer dobbel pris ved dobbelt antall og kan begrunne det, for eksempel med prisen for ett stykk. Legger det bare økningen i antall til prisen, tenker det fortsatt additivt.
Er enhver sammenheng mellom antall og pris proporsjonal?
Nei. Ved storpakninger eller tilbud synker prisen per stykk ofte. I undervisningen arbeider man først med situasjoner der hvert stykk koster like mye, og tar deretter bevisst opp moteksempler.