3 cahiers coûtent 6 € : penser additif au lieu de proportionnel
Pourquoi des élèves raisonnent de façon additive face à « 3 cahiers coûtent 6 € » et comment les enseignants construisent la relation de proportionnalité.
En bref : Face à « 3 cahiers coûtent 6 €, combien coûtent 6 cahiers ? », beaucoup d’enfants calculent 6 € + 3 € = 9 €, parce que trois cahiers s’ajoutent. Ils reportent l’écart de quantité sur le prix, alors que le prix double quand la quantité double. Les tableaux avec des flèches, la question du prix d’un seul objet, le doublement et la moitié ainsi que des contre-exemples où la relation n’est pas proportionnelle aident les élèves. Mazio Maths organise ses contenus selon les cinq domaines de compétences, dont Motifs et structures, et donne des indications à l’enseignant quand une conception erronée répandue apparaît dans la classe.
Cet article s’adresse aux enseignants de CE2 et de CM1. Il présente les erreurs typiques dans les problèmes de quantité et de prix, en explique l’origine et décrit comment construire la relation à l’aide de tableaux et de démarches de calcul. La manière dont les enfants apprennent à comprendre les problèmes en général est présentée dans l’article sur les étapes pour comprendre les problèmes.
Erreurs typiques avec la quantité et le prix
| Erreur | Exemple | Ce qui se cache derrière |
|---|---|---|
| L’écart au lieu du multiple | 3 cahiers coûtent 6 €. Pour 6 cahiers, l’enfant calcule 6 € + 3 € = 9 €. La bonne réponse est 12 €. | L’augmentation de la quantité est ajoutée au prix. |
| Le prix de plusieurs pris pour le prix d’un seul | 2 crayons coûtent 2 €. Pour 5 crayons, l’enfant continue de 2 en 2 : 2 €, 4 €, 6 €, 8 €, 10 €. La bonne réponse est 5 €. | Le prix de deux objets est ajouté à chaque objet supplémentaire. |
| Toujours doubler | 4 kg coûtent 8 €. Pour 6 kg, l’enfant double et obtient 16 €. La bonne réponse est 12 €. | « Plus » est associé uniquement au doublement. |
| Des nombres combinés sans les comprendre | 4 kg coûtent 12 €. Pour 1 kg, l’enfant calcule 12 × 4 = 48 €. La bonne réponse est 3 €. | L’opération est devinée, l’ordre de grandeur du résultat n’est pas vérifié. |
| Proportionnel là où cela ne convient pas | Un enfant mesure 110 cm à 5 ans, donc 220 cm à 10 ans. | Toute relation est vue comme « deux fois plus, deux fois plus ». |
La page Les mathématiques en CE2 et en CM1 (en allemand) cite aussi le premier exemple comme conception erronée typique du domaine Motifs et structures.
Pourquoi les enfants raisonnent de façon additive
Au cours des premières années d’école, les enfants rencontrent surtout des relations additives : on ajoute quelque chose, on enlève quelque chose. Le langage renforce cette habitude, car « il y a trois cahiers de plus » fait penser à une addition. Les relations de proportionnalité demandent de regarder les multiples : si la quantité double, le prix double.
Le projet Mathe sicher können le décrit dans son module de soutien sur les relations de proportionnalité par l’idée que « pour chaque portion, on ajoute toujours la même chose ». Il en découle aussi qu’au multiple de la quantité correspond le même multiple du prix. Le module distingue quatre démarches : additionner pas à pas, multiplier la quantité et le prix par le même nombre, passer par l’unité, démarche aussi connue sous le nom de règle de trois, et calculer avec le coefficient de proportionnalité. Parmi les erreurs typiques, il cite notamment le fait de prendre le prix de deux objets pour le prix d’une portion puis de l’additionner pas à pas, et le fait d’associer « proportionnel » uniquement au doublement. Le module est conçu pour le premier cycle du secondaire, mais les bases se construisent en CE2 et en CM1.
Construire la relation
Des tableaux avec des flèches. À gauche la quantité, à droite le prix. Les enfants notent comment ils passent d’une ligne à la suivante : « fois 2 » à gauche signifie « fois 2 » à droite. De petits tableaux suffisent, avec seulement les lignes nécessaires.
| Cahiers | Prix |
|---|---|
| 3 | 6 € |
| 1 | 2 € |
| 6 | 12 € |
| 9 | 18 € |
Le prix d’un seul. La question « Combien coûte un cahier ? » transforme beaucoup de problèmes en un problème simple. 6 € pour 3 cahiers, cela fait 2 € par cahier. Ensuite, on peut calculer le prix de n’importe quelle quantité.
Doubler et prendre la moitié. Quantité double, prix double. Moitié de la quantité, moitié du prix. Les recettes s’y prêtent bien : une pâte à crêpes pour 4 personnes est doublée pour 8 personnes et divisée par deux pour 2.
Schéma en barres. Chaque cahier est une barre de deux cases pour 2 €. Six cahiers font six barres, donc douze cases. On voit ainsi qu’avec chaque cahier, la même chose s’ajoute.
Contre-exemples. Toutes les relations ne sont pas proportionnelles. La taille n’augmente pas proportionnellement à l’âge, et pour les grands conditionnements, le prix est souvent plus bas que ce que la quantité laisserait attendre. Le matériel PIKAS sur les valeurs monétaires souligne qu’au quotidien, la marchandise et le prix ne sont que rarement proportionnels en raison des remises sur quantité. Les enfants devraient donc se demander si « deux fois plus » s’applique vraiment ici.
Questionner pour diagnostiquer
- « Combien coûte un seul cahier ? »
- « Combien de cahiers y a-t-il en plus maintenant ? Et combien de fois plus ? »
- « Montre-moi ta démarche dans le tableau. »
- « Est-ce possible que 6 cahiers coûtent 9 € si un cahier coûte 2 € ? »
- « Est-ce que cela vaut aussi ici : deux fois plus, deux fois plus cher ? »
Si un enfant calcule correctement le prix unitaire sans l’utiliser, il a besoin du tableau comme outil. S’il ne parvient pas à déterminer le prix unitaire, l’obstacle se situe plutôt dans la division et dans la compréhension de « par objet ».
Comment Mazio Maths soutient le raisonnement fonctionnel
Mazio Maths est une plateforme d’apprentissage pour les mathématiques à l’école primaire. Les contenus sont organisés selon les cinq domaines de compétences des standards nationaux allemands, dont Motifs et structures, et conçus pour les doubles niveaux CP–CE1 et CE2–CM1. Pour le CE2 et le CM1, il existe des séances dans les cinq domaines. Dans « Vérifier des démarches de calcul », les enfants décident quelle démarche correspond à une question tirée d’un problème.
Trouver des contenus. La page « Programme » du tableau de bord indique s’il existe du matériel adapté à un point des programmes des États fédérés allemands. Avec le filtre « CE2–CM1 » et un point déplié, vous voyez sous « Correspondances dans Mazio Maths » les séances, les exercices du Basiscamp et les tâches de la Knobelbox correspondants. Sur l’étagère, la recherche filtre par titre, thème ou compétence.
Consolider les bases. Un enfant qui ne parvient pas à déterminer le prix d’un objet a souvent besoin des tables de multiplication et de la division. Le Basiscamp les entraîne dans le monde « Multiplier et diviser » et propose des mondes consacrés aux motifs, à l’équilibre et aux énigmes. Il retient pour chaque enfant les types de tâches qu’il maîtrise déjà. Avec le bouton plus d’une carte sur l’étagère, vous placez tout un sous-monde au tableau de la classe.
Un déroulement pour le CM1. La séance commence par le problème des cahiers et les réponses 9 € et 12 €, sur lesquelles la classe vote avant de trancher à l’aide d’un tableau. Vous placez ensuite un contenu adapté au tableau avec le bouton plus, accompagné d’une note comme « Demandez-vous d’abord : combien coûte un seul cahier ? ». Sur la ligne du contenu, vous voyez combien d’enfants ont terminé. Si un enfant fait une erreur, l’assistant d’apprentissage Mazio l’aide directement dans la tâche, avec une question, avec des repères dans l’image et, si nécessaire, avec une étape partielle donnée. Il ne donne pas la solution.
Conceptions erronées de la classe. Une fois par semaine, Mazio Maths vérifie si les réponses fausses de la classe révèlent une conception erronée répandue. La carte de soutien explique l’erreur de raisonnement à partir d’un exemple, propose des étapes pour l’enseignement et suggère des contenus adaptés pour le tableau. C’est vous qui décidez de ce qui va au tableau.
Étape suivante. Créez un compte en vous inscrivant gratuitement et découvrez l’étagère et la vue Programme. L’article Comment Mazio Maths analyse les erreurs de raisonnement de la classe décrit comment Mazio Maths rend visibles les erreurs de raisonnement à l’échelle de la classe. L’utilisation avec une classe est pour l’instant possible pour les écoles en Allemagne, qui peuvent aussi essayer Mazio Maths au préalable. Si votre école se trouve dans un autre pays, l’inscription enregistre votre intérêt.
Questions fréquentes
Les enfants apprennent-ils déjà la règle de trois à l’école primaire ?
En tant que procédure, le plus souvent plus tard. L’idée qui la sous-tend, déterminer d’abord le prix d’un objet puis calculer le prix de la quantité voulue, peut déjà être utilisée en CE2 et en CM1 avec des tableaux. Le moment où ce thème est abordé dépend du programme de votre pays.
Comment savoir si un enfant raisonne de façon proportionnelle ?
Il s’attend à un prix double pour une quantité double et peut le justifier, par exemple avec le prix d’un objet. S’il ajoute simplement l’augmentation de la quantité au prix, il raisonne encore de façon additive.
Toute relation entre quantité et prix est-elle proportionnelle ?
Non. Pour les grands conditionnements ou les promotions, le prix par objet baisse souvent. En classe, on travaille d’abord avec des situations où chaque objet coûte le même prix, puis on discute délibérément de contre-exemples.