3 Hefte kosten 6 Euro: additiv statt proportional gedacht
Warum Kinder bei Aufgaben wie „3 Hefte kosten 6 €“ additiv statt proportional denken und wie Lehrkräfte den funktionalen Zusammenhang aufbauen.
Kurz gesagt: Bei „3 Hefte kosten 6 €, was kosten 6 Hefte?“ rechnen viele Kinder 6 € + 3 € = 9 €, weil drei Hefte dazukommen. Sie übertragen den Unterschied in der Menge auf den Preis, obwohl sich bei doppelter Menge auch der Preis verdoppelt. Hilfreich sind Tabellen mit Pfeilen, die Frage nach dem Preis für ein Stück, Verdoppeln und Halbieren und Gegenbeispiele, bei denen der Zusammenhang nicht proportional ist. MatheZeit ordnet seine Inhalte nach den fünf Leitideen, darunter Muster und Strukturen, und gibt der Lehrkraft Hinweise, wenn sich in der Klasse eine verbreitete Fehlvorstellung zeigt.
Dieser Artikel richtet sich an Lehrkräfte in Klasse 3 und 4. Er zeigt typische Fehler bei Aufgaben mit Menge und Preis, erklärt die Ursache und beschreibt, wie Sie mit Tabellen und Rechenwegen den Zusammenhang aufbauen. Wie Kinder Sachaufgaben allgemein verstehen lernen, steht im Artikel über Schritte zum Verstehen von Sachaufgaben.
Typische Fehler bei Menge und Preis
| Fehler | Beispiel | Was dahintersteht |
|---|---|---|
| Unterschied statt Vielfaches | 3 Hefte kosten 6 €. Für 6 Hefte rechnet das Kind 6 € + 3 € = 9 €. Richtig sind 12 €. | Der Zuwachs der Menge wird zum Preis addiert. |
| Preis für mehrere als Preis für eines | 2 Stifte kosten 2 €. Für 5 Stifte zählt das Kind in Zweierschritten weiter: 2 €, 4 €, 6 €, 8 €, 10 €. Richtig sind 5 €. | Der Preis für zwei Stück wird bei jedem weiteren Stück addiert. |
| Immer verdoppeln | 4 kg kosten 8 €. Für 6 kg verdoppelt das Kind auf 16 €. Richtig sind 12 €. | „Mehr“ wird nur mit Verdoppeln verbunden. |
| Zahlen ohne Sinn verknüpft | 4 kg kosten 12 €. Für 1 kg rechnet das Kind 12 · 4 = 48 €. Richtig sind 3 €. | Die Rechenart wird geraten, die Größe des Ergebnisses nicht geprüft. |
| Proportional, wo es nicht passt | Ein Kind ist mit 5 Jahren 110 cm groß, also mit 10 Jahren 220 cm. | Jeder Zusammenhang gilt als „doppelt so viel, doppelt so viel“. |
Das erste Beispiel nennt auch die Seite Mathematik in Klasse 3 und 4 als typische Fehlvorstellung in der Leitidee Muster und Strukturen.
Warum Kinder additiv denken
Kinder kennen aus den ersten Schuljahren vor allem additive Beziehungen: Etwas kommt dazu, etwas geht weg. Die Sprache verstärkt das, denn „drei Hefte kommen dazu“ klingt nach Plus. Proportionale Zusammenhänge verlangen dagegen den Blick auf Vielfache: Wird die Menge verdoppelt, verdoppelt sich der Preis.
Das Projekt Mathe sicher können beschreibt das in seinem Förderbaustein zu proportionalen Zusammenhängen mit dem Gedanken „pro Portion kommt immer das Gleiche hinzu“. Daraus folgt auch, dass zum Vielfachen der Menge das gleiche Vielfache des Preises gehört. Der Baustein unterscheidet vier Rechenwege: schrittweise addieren, hochrechnen, auf eine Portion runterrechnen, was auch als Dreisatz bekannt ist, und mit dem festen Faktor rechnen. Als typische Fehler nennt er unter anderem, dass der Preis für zwei Stück als Preis für eine Portion genommen und dann schrittweise addiert wird, und dass „proportional“ nur mit Verdoppeln verbunden wird. Der Baustein ist für die Sekundarstufe I geschrieben, die Grundlagen entstehen aber in Klasse 3 und 4.
Den Zusammenhang aufbauen
Tabellen mit Pfeilen. Links die Menge, rechts der Preis. Die Kinder tragen ein, wie sie von einer Zeile zur nächsten kommen: „mal 2“ links bedeutet „mal 2“ rechts. Es reichen kleine Tabellen mit nur den Zeilen, die gebraucht werden.
| Hefte | Preis |
|---|---|
| 3 | 6 € |
| 1 | 2 € |
| 6 | 12 € |
| 9 | 18 € |
Der Preis für eines. Die Frage „Was kostet ein Heft?“ macht aus vielen Aufgaben eine einfache. 6 € für 3 Hefte sind 2 € je Heft. Danach lässt sich jede Menge berechnen.
Verdoppeln und Halbieren. Doppelte Menge, doppelter Preis. Halbe Menge, halber Preis. Mit Rezepten lässt sich das gut üben: Ein Pfannkuchenteig für 4 Personen wird für 8 Personen verdoppelt und für 2 halbiert.
Streifenbild. Jedes Heft ist ein Streifen aus zwei Kästchen für 2 €. Sechs Hefte sind sechs Streifen, also zwölf Kästchen. So wird sichtbar, dass mit jedem Heft dasselbe dazukommt.
Gegenbeispiele. Nicht jeder Zusammenhang ist proportional. Die Körpergröße wächst nicht mit dem Alter im gleichen Verhältnis, und bei Großpackungen ist der Preis oft niedriger, als die Menge erwarten lässt. Das PIKAS-Material zu Geldwerten weist darauf hin, dass Ware und Preis sich im Alltag wegen Mengenrabatten nur selten proportional verhalten. Kinder sollten deshalb fragen, ob „doppelt so viel“ hier wirklich gilt.
Diagnostisch nachfragen
- „Was kostet ein einzelnes Heft?“
- „Wie viele Hefte sind es jetzt mehr? Und wie viel mal so viele?“
- „Zeig mir deinen Rechenweg in der Tabelle.“
- „Kann es sein, dass 6 Hefte 9 € kosten, wenn ein Heft 2 € kostet?“
- „Gilt das hier auch: doppelt so viel, doppelt so teuer?“
Rechnet ein Kind den Einzelpreis richtig, nutzt ihn aber nicht, braucht es die Tabelle als Werkzeug. Kann es den Einzelpreis nicht bestimmen, liegt die Hürde eher beim Teilen und beim Verständnis von „je Stück“.
Wie MatheZeit beim funktionalen Denken unterstützt
MatheZeit ist eine Lernplattform für den Mathematikunterricht der Grundschule. Die Inhalte sind nach den fünf Leitideen der Bildungsstandards geordnet, darunter Muster und Strukturen, und für die Doppeljahrgänge 1/2 und 3/4 angelegt. Für Klasse 3 und 4 gibt es MatheZeiten zu allen fünf Leitideen. In „Rechenwege überprüfen“ entscheiden die Kinder, welcher Rechenweg zu einer Sachfrage passt.
Inhalte finden. Ob es zu einem Schwerpunkt Ihres Lehrplans passendes Material gibt, zeigt die Seite „Lehrplan“ im Dashboard. Mit dem Filter „Klasse 3/4“ und einem aufgeklappten Schwerpunkt sehen Sie unter „Passt dazu in MatheZeit“ die passenden MatheZeiten, Basiscamp-Übungen und Knobelbox-Aufgaben. Im Regal filtern Sie über die Suche nach Titel, Thema oder Kompetenz.
Grundlagen sichern. Wer den Preis für ein Stück nicht bestimmen kann, braucht oft das Einmaleins und das Teilen. Das Basiscamp übt in der Welt „Mal und Geteilt“ und hat Welten zu Mustern, Gleichgewicht und Knobeleien. Es merkt sich für jedes Kind, welche Aufgabenarten es schon sicher kann. Mit dem Plus einer Karte im Regal legen Sie eine ganze Unterwelt auf die Tafel der Klasse.
Ein Ablauf für Klasse 4. Die Stunde beginnt mit der Heftaufgabe und den Antworten 9 € und 12 €, über die die Klasse abstimmt und dann mit einer Tabelle entscheidet. Danach legen Sie einen passenden Inhalt mit dem Plus auf die Tafel, mit einer Notiz wie „Fragt euch zuerst: Was kostet eines?“. An der Zeile sehen Sie, wie viele Kinder fertig sind. Macht ein Kind einen Fehler, hilft der Lernassistent Mazio direkt in der Aufgabe, mit einer Rückfrage, mit Markierungen im Bild und bei Bedarf mit einem vorgegebenen Teilschritt. Die Lösung nennt er nicht.
Fehlvorstellungen der Klasse. Einmal in der Woche prüft MatheZeit, ob sich in den falschen Antworten der Klasse eine verbreitete Fehlvorstellung zeigt. Die Förderkarte erklärt den Denkfehler an einem Beispiel, nennt Schritte für den Unterricht und schlägt passende Inhalte für die Tafel vor. Was auf die Tafel kommt, entscheiden Sie.
Nächster Schritt. Legen Sie unter kostenlos registrieren ein Konto an und sehen Sie sich Regal und Lehrplan-Ansicht an. Wie MatheZeit Denkfehler auf Klassenebene sichtbar macht, beschreibt der Artikel Wie MatheZeit Denkfehler der Klasse auswertet. Grundschulen in Bayern, Nordrhein-Westfalen, Niedersachsen und Brandenburg können MatheZeit mit der ganzen Klasse einsetzen und vorher kostenlos erproben.
Häufige Fragen
Lernen Kinder in der Grundschule schon den Dreisatz?
Den Dreisatz als Verfahren meist erst später. Die Idee dahinter, zuerst den Preis für ein Stück zu bestimmen und dann hochzurechnen, können Kinder in Klasse 3 und 4 aber schon mit Tabellen nutzen. Wann das Thema ist, legt der Lehrplan Ihres Landes fest.
Woran erkenne ich, ob ein Kind proportional denkt?
Daran, dass es bei doppelter Menge den doppelten Preis erwartet und das begründen kann, etwa mit dem Preis für ein Stück. Rechnet es den Zuwachs der Menge einfach zum Preis dazu, denkt es noch additiv.
Ist jeder Zusammenhang zwischen Menge und Preis proportional?
Nein. Bei Großpackungen oder Angeboten sinkt der Preis je Stück oft. Im Unterricht arbeitet man zuerst mit Situationen, in denen jedes Stück gleich viel kostet, und bespricht danach bewusst Gegenbeispiele.